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记者：钱老师，您好。2001年江苏教育出版社推出一套小学教育改革丛书，其中数学学科《学会数学地思维》是您主编的，这是您十几年在小学数学教学领域里思考和实践经验的总结。您能谈谈其中的主要观点吗?
钱老师：在数学教学中，我一直在思考和探索这样一个问题：如何使学生的数学学得开窍一点，越学越聪明。在实践的同时，我注意寻求理论的指导。其中有两位专家的论述点化了我的认识：一是陈重穆教授提出的数学教学要“淡化形式，注重实质”；一是马明老师提出的“数学教学要深入到数学思想方法的层次”。在这些观点的指导下，我逐步形成了对数学教学的理解：即“如果知识背后没有方法，知识只能是一种沉重的负担；如果方法背后没有思想，方法只不过是一种笨拙的工具”。数学教学要在重视传授知识的同时，引导学生领会数学方法、感悟数学思想，这样才能使学生学会数学地思维，这是数学教学要追求的境界，也是数学教学的本质要求。
第一，重视基础知识的理解。在教学中，要把握住知识体系的起始点、知识体系之间的转折点、相关知识体系的整合点。
起始点的内容往往具有基础性的作用。例如，低年级除法的意义直接影响以后要学的分数、比例、因数和倍数等内容。在教学过程中，要让学生对此有深刻的理解，并且让学生在以后学习相关知识时反复回到它们的源头，使学生在新旧知识的联系中深化对旧知的认识，促进对新知的理解。
转折点的内容往往是教学的难点，转折得好，有利于旧知到新知的提升。例如，从用算术方法解决问题到用代数方法解决问题，转折的关键是抓好“用字母表示数”这一内容的教学，要让学生明白在问题中假设一个数量为x，就是假设未知数为已知，既然“已知”了，那就可以与已知数一样，根据数量关系去构造算式、形成等式，不必老是想着把要求的数量作为运算的结果。在小学数学中这样的转折很多，从整数到分数，从量到率，从常量到变量，等等。
整合点往往具有一定的抽象程度，它往往是沟通相关数学知识的普遍原理。例如和、差、积、商的变化规律，它是许多知识变化、问题解决的核心思想，像除法计算试商中调商方法的本质就是商的变化规律的具体体现，年龄问题就是差不变规律的现实模型，运算中的一些简便算法也是这些变化规律的具体运用。在教学中，要注意引导学生把具体领域的内容所反映的普遍原理联系起来，整体地、辩证地、灵活地领会，达到触类旁通的境界。
第二，重视数学方法的训练。数学知识中蕴含着数学方法。有了数学方法的引领，数学知识才会软化，才会脱去僵硬的外衣而显露出生机和活力。结合学生的学习内容和年龄特点，我在教学中注重让学生体会比较、思辨、化归、 猜测等数学方法。 比较。数学是一种抽象的模式科学，是抽取具体事物中相同元素并进行形式化的过程。通过比较能有效地揭示多个对象中的相同点和不同点，明确知识的内涵和外延。 为此，我在教学中，注重引导学生从多个能反映数学知识本质的具体事例出发，在比较中形成抽象的认识，帮助学生经历和体验“数学化”的过程。
思辨。小学数学中的很多知识是通过对有限个对象进行不完全归纳而得出的，学生对此的理解有时仅仅是形式上的把握。如何让学生知其然也知其所以然，我觉得还要注意引导学生透过现象看本质，想得深入一点，由此体会到数学本身的逻辑性和数学结论的确定性。例如，小数点位置移动引起小数大小的变化规律容易掌握，但为什么小数点向右(或向左)移动一位、两位、三位……小数就扩大 (或缩小)10倍、100倍、1000倍……呢?再如，一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数，这其中的道理是什么呢?这些问题让学生进行严格的形式化证明要求则太高，但学生通过思辨还是能有更多启发的。所以，引导学生多想一步，想深一步，对提高学生探究能力是大有裨益的。
化归。数学中的很多问题都是有联系的，只不过随着情境变化、条件增加而逐步复杂，但看似复杂的、新的问题往往可以转化成能利用已有经验解决的、熟悉的问题。这就需要学生善于化繁为简、化难为易、化特殊为一般、化隐蔽为外显，让学生在整体与部分、数与形、具体与抽象之间自由转换，从而把问题表面的复杂归结为内在的简单。
猜测。从发生学的角度看，人的认识都是从问题出发， 首先有一个初步想法，再由这个想法作引导，进行一些验证性的工作，确定或推翻这个想法。只有在这样的认识模式中才会有多样化、非线性思维，创新意识的培养才成为可能。例如圆锥体积公式的推导，传统的教学通常是：揭示问题——提供材料进行实验——得出结论，从过程到结论，线性推理，没有曲折；按照一般的认识规律设计：揭示问题——直觉猜测——设计多样化的实验方案进行验证——得出结论。猜测能使学生对实验的结论作初步的定向，设计的实验方案是多样的，可以提高结论的可靠性，在这一过程中学生的思维是非线性的，经历了直觉引领、发散设计、选择判断等自主性、挑战性的活动过程。
第三，重视数学思想的渗透。数学思想是指人们对某一数学对象或数学过程的本质认识，是人们对事物整体考察而获得领悟的结果。数学思想与数学方法是紧密联系的。小学数学中孕伏了对应、假设、极限、集合、单位、函数等思想。在实践中，我注意结合知识教学、方法引导适时进行渗透。例如在“面积与面积单位”的教学中，当学生无法直接比较两个图形面积大小时，适时引进“小方块”，把“小方块”一个一个地铺到被比较的两个图形上，这样，两个图形的面积都得到了“量化”，形的问题转化为数的问题；接着，又通过“小方块”大小必须统一的教学过程，使学生深刻认识到：任何量化都必须有一个标准，而且标准要统一，自然地渗透了单位思想。单位思想的确定，使学生对相关领域的 知识有一种整体的统摄力、领悟力和迁移力。
记者：钱老师，刚才您谈到了在数学教学过程中，要引导学生把握知识本质，掌握数学方法，领悟数学思想，最终使学生学会数学地思维。您能否进一步谈谈在怎样的教学活动中，才能达到这样的境界?
钱老师：好的。小学数学教学存在两种形态：一种是以认知建构为特征，一种是以问题解决为特征。考察数学教学的现状，我们可以发现：以认知建构为特征的教学中，我们比较注重对知识的多角度把握和反复操练，也即重视得出知识以后的理解，而忽视得出知识的探索经历，由此，学生不明白知识是如何发生、发展的；以问题解决为特征的教学中，我们比较注重按既定思路规范地表达解法，也即重视得出思路以后的陈述，而忽视了寻找思路、探求解法的过程，由此，学生不明白解法是如何发现的，怎么才能想出来。针对这种情况，我觉得在教学过程中要把重点放在知识生成的过程和解法发现的过程，让学生在经历这两个过程中学会数学地思维。
第一，引导学生经历知识生成的过程。小学数学知识生成的本质是“数学化”，即从具体到形式的抽象过程。在实践中，我按照知识的形态不同，着力展开三个过程。
现实题材——数学问题——数学模型——数学知识和方法。数学问题可以由教师提出，也可以由学生自己提出；从数学问题出发，引导学生通过自主活动，或猜测出一个数学模型再加以验证，或由现实原型经过抽象转化成数学模型，或由众多例证归纳数学模型，或由对因素的分析组成数学模型，在这个过程中不仅有逻辑推理，而且有想像、猜 测等非逻辑推理；“数学模型——数学知识和方法”是一个一般化、具体化的过程，其中要有解释、应用或反思。在有关问题形态的知识教学中，只有展开了这个过程，学生才能体验到知识、方法的发生、发展和提升。
动作操作——表象操作——符号操作。动作操作是学生形成观念的发端，没有直观操作，学生的有些认识几乎不可能发生；表象操作是连接动作操作和符号操作的中介。教师在教学中往往会忽视这一环节，直接把动作操作上升到符号操作，但如果没有表象这一阶段的内化，学生的认识很难上升到抽象的符号水平。同时，这三者之间是相互促进的，上升到了符号水平以后再回过采理解动作和表象，往往又会有新的认识和提升。在有关活动形态的知识教学中，经历这三个过程，学生的认识就能在“具体、半具体、半抽象、 抽象”之间来回铺排，实现从具体到抽象的数学建构。
简单结构——复杂结构。在教学中，很多内容都是按照螺旋上升的原则编排的。例如“观察物体”的教学是从观察简单实物人手，再到观察复杂实物组合和简单几何体，最后发展到观察复杂的几何体。观察物体的方法是一致的，只是观察对象的复杂和抽象程度不同。针对这种形态的知识生成方式，教学不能按线性叠加的方式进行，而要随着教学内容的逐步深入，引导学生在方法迁移中自主生成和深化拓展。
第二，引导学生经历发现解法的过程。解题是一个复杂的综合过程。学生只有真正掌握了解题策略，才能找出有用的信息，建立已知和未知的联系，最终解决问题。
直观化处理。数学问题由表层结构和深层结构组成， 表层结构是由背景和情节组成的，深层结构是由数量关系组成的。只有把握问题的深层结构，才能找到解决问题的思路。怎样越过表层结构把握问题的深层结构，直观化处理是——种重要的方法。为此，在教学中注意培养学生养成使用草稿本的习惯，只要有可能就要把问题以一种直观的形式表征出来，或画一个线段图、一个树形图，或列一张表格、一个方阵等，把问题中的数量关系凸现出来，从而形成解题思路。
想到一个与此有关的问题。由面对的问题联想到与此有关的问题越多，就越能调用已有的知识经验，打开解题思路。波利亚总结的怎样解题的经验能给我们启发：你知道与它有关的问题吗?你能不能试想出一个有相同或相似未知数的熟悉问题?你能改进这个问题吗?你能想到一个更容易人手的问题?一个更普通的问题?一个更特殊的问题?……所以，在解题中要经常提醒学生： 由这个问题你能想到什么?启动学生的联想，引领学生的思考。
从最简单的情况想起。复杂问题总是由简单问题组成的。在解决复杂问题时，要注意引导学生想想它的简单情形，可以考虑去掉某一个(或几个)限制条件，或把某一个 (或几个)条件放宽，从而把较复杂的问题转化为一个简单的问题，这样就可以把解决简单的问题作为跳板，从中寻找方法或受到启发，再“进”到复杂问题。正如数学家华 罗庚所说：善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个决窍。在这一“退”一 “进”之间，问题往往能得以顺利解决。
记者：听了您刚才的介绍，我很受启发。一个成功的教师应更深刻地认识教学的本质，把握学生的认知规律，从而促进学生的思维发展。最后想请您谈谈在当前形势下， 把握课程改革的实质，避免一些形式化的理解和操作，教师在教学中应注意什么。
钱老师：我觉得要把握数学课程改革的实质，积极稳妥地推进课程改革，必须做到两个坚持。
第一，坚持现代理念与传统精华的融合。数学课程需要改革的是传统教学中的不足，而对传统教学的精华必须继承，不然改革又会从一个极端走向另一个极端。我们要用辩证的眼光，寻找现代与传统的结合点，把现代课程理念与传统教学精华融合在一起，形成有自己特色的数学教学体系。注重“双基”和主动建构的融合。
注重“双基”一直是 我们数学教学的传统，是要坚持的，但是围绕“双基”所展开的低水平的反复训练却是要改革的。课程改革主张在现实情境中引人数学问题，再通过数学模型的构建获得数学知识和结论，让学生体验知识发生、发展的过程，这是对的，这样有助于提高学生的创新意识和实践能力。但如果在这个过程中，忽视了对数学结论的多角度理解和变式练习，学生对知识的理解不到位，掌握得不牢固，反过来又会制约学生对新知的探究，这样必然会降低数学教学的质量。基础与建构同样重要。
演绎法和归纳法的融合。演绎法是由一般原理推出关于特殊情况下的结论的一种推理方法，归纳法是由一系列具体的事实概括出一般原理的一种推理方法。这两种推理方法既相对，又相融。通过归纳法去发现，再通过演绎法去论证，既能培养学生探究知识的能力，又能培养学生的理性思维。所以，新课程针对传统教学偏重接受性学习方式的现状，倡导自主学习、合作学习、探究学习等学习方式，重视教给学生学习的方法。但同时我们又要看到，传统教学中的记忆、听课、作业仍是学生学习的主要方式，关键是要在新课程思想引领下进行必要的改造，赋予新的内涵。
练习与感悟融合。通过必要的练习形成技能，是传统教育的成功经验。但需要把练习与感悟结合起来，在练习中感悟，在感悟中练习，把练习中得到的局部认识通过感悟上升到知识的整体领悟，从而提升学生的数学素养。
第二，坚持用研究推进行动。课程改革必然会产生矛盾，出现问题。我觉得每一位教师都应该以研究的态度来认识问题，分析问题，把握重点，抓住关键，在研究中实践，在实践中研究，这样，才能真正把握课程改革的实质。
行动研究。行动研究的本质是解决实践中碰到的问题，它的基本过程是“问题——计划——行动——反思” 的循环往复，我们在课程改革实践中始终要做到“在行动中研究”“在研究中行动”“为行动而研究”“为研究而行动”。要敏感地发现现实中产生的“问题”，并持续“关注”，进行有干预的“行动”，再通过“反思”形成清晰的教 学思路。
案例研究。案例研究能促进理论和实践的结合。例如，我校有位老师上“方程的意义”这节课，就定位在小学数学概念教学这一主题上，试图通过研究形成有关概念教学的目标、思路和方式。通过几个轮次的反复，我们认识到概念教学要把“整体和意义还给学生”，以带动和促使学生对一类知识的深刻理解和把握。再如，一年级综合实践活动课“我们认识的数”的研究，主题就定位在数感培养和知识综合的研究。通过这些基于具体案例的研究，就能逐步体验到新理念如何指导具体的教学设计和课堂实践，从而淡化教学形式，把握实质。
